Мы знаем, что фигура, у которой все углы 90 градусов и все стороны равны, квадрат.
А теперь возьмем глобус. Представим себе, что мы идем по земному шару, начиная с экватора к Северному полюсу под углом 90 градусов, затем, дойдя до полюса, поворачиваемся на 90 градусов и идем вниз по долготе, которая проходит через Мексиканский Залив и полуостров Юкатан. Попадаем опять на экватор и пойдем до точки начала отсчета нашего путешествия. Можно начертить на глобусе или сфере маршрут своего движения, который будет представлять собой треугольник с углами по 90 градусов. Сумма углов у него будет больше 180 градусов. Я могу вырезать кусок бумаги, который представляет собой «трехсторонний квадрат», у которого все углы 90 градусов и все стороны равны.
Сфера (не путать с шаром) имеет постоянную кривизну Гаусса. Нарисуем на сфере 2 линии через нее и выберем максимальную и минимальную кривизну этих линий, перемножим их. Если положительное число умножить на положительное, то получится число положительное. У сферы постоянно положительная кривизна.
Возьмем псевдосферу, она противоположна сфере («фальшивая сфера», т.к. псевдо - кажущееся, ложное; похожее, но не настоящее). Она похожа на воронку или рог и имеет хорошее качество. Если взять на ней какую-нибудь точку, то в одном направлении она вогнутая, а в другом она выпуклая. Сделаем оговорку: надо выбрать минимум вогнутости и максимум выпуклости или одно из условий. Нужно выбрать так, чтобы в одном направлении линия выпирала, а в другом вгибалась. Оказывается, что у любой псевдосферы будет одна негативная кривизна. Это значит, что если перемножить, то в одном месте можно получить положительную кривизну не очень большую, а вот отрицательную кривизну огромную. А вот тут, где отрицательная кривизна маленькая, положительная кривизна огромна. Получается, что у псевдосферы везде отрицательная кривизна.
На обычном листе бумаге в Евклидовой геометрии каждый треугольник имеет 3 угла с сумой 180 градусов. Если же нарисовать любой треугольник на сфере, то сумма его углов будет больше 180 градусов. Это можно видеть, как на глобусе, так и на сфере. А вот на псевдосфере, неважно как как начертить треугольник, сумма его углов будет меньше 180 градусов. Они будут заостренными и придут к слегка острой форме.
Нарисуем пятистороннюю фигуру, у которой все углы будут 90 градусов. Нужно взять лист бумаги, намочить его, обернуть его вокруг псевдосферы и у него везде будет отрицательная кривизна Гаусса. Выбрав 5 точек на ней, мы поймем, что получилась пятисторонняя фигура, каждый угол которой равен 90 градусам. Можем проверить это. Возьмем кусок бумаги с углом в 90 градусов, приложим к псевдосфере. Действительно, имеем 5 углов по 90 градусов. Вот вам «пятисторонний квадрат» !!! Вырежем его. Это пятиугольник!! Это пятиугольник, у которого все углы прямые! Так это пятиугольник или квадрат? Если это квадрат - фигура у которой все стороны равной длины и все углы равны 900, тогда я могу утверждать, что это «пятисторонний квадрат».
Что будет, если сдавить его до плоской фигуры? Топологи утверждают, что это невозможно…Ну если попытаться это сделать, то это тоже самое, если бы взять кусочек сферы, кусочек глобуса и сдавить его… Невозможно сохранить области, сохранить направление. Мы сталкиваемся с проблемой конформного и неконформного отображения. Мы можем попытаться это сделать, но когда сдавливаешь одну часть, то другая часть поднимается. Не получится с точностью отобразить сферическую или псевдосферическую поверхность на Евклидовой плоскости. Эта проблема преследовала картографов долгое время.
Открытие неевклидовых пространств совершенно изменило роль геометрии. Древняя наука об «изменении форм» проникла во все области человеческого знания, она перестала быть ограниченной узкими рамками евклидова мира и теперь сама открывает безграничный простор воображению.
Ученый должен идти по непроторенным путям, несмотря на препятствия». Н.И. Лобачевский
Я убежден, что отказ от постулата о параллелях не приводит к противоречию, хотя это правда, что получаемые результаты кажутся парадоксальными.Карл Фридрих Гаусс (1777 -1875)
