Музыка и математика. Казалось бы, что тут может быть общего? Каждый из нас когда-либо слушал музыку. Помните, как мелодии заедали у вас в голове? А сможете назвать свою любимую песню?
Слушая музыку, мы попадаем в волшебный и чарующий мир звуков, которые, кажется, так идеально сочетаются друг с другом. Кажется, когда композиторы сочиняют мелодию, они подбирают сочетающиеся ноты и группируют их. Но не все так просто! Например, как известно, у Бетховена были серьезные проблемы со слухом. Как же он тогда создал свою гениальную Лунную сонату?
Секрет в том, что Бетховен сочинял свою музыку с помощью теории и математических соотношений.
В музыке немало математики. Мы используем западноевропейскую нотную систему, основа которой - строго определенные шкалы частоты и времени. На первых же уроках сольфеджио в музыкальной школе ученики сталкиваются с математикой. В музыке все нужно считать! 7 нот, 5 линеек, интервалы… и все это - язык музыки. Говорят, что если закончить музыкальную школу, можно с легкостью сдать экзамен по математике.
Во времена Пифагора (того самого, у которого штаны во все стороны равны) люди считали, что раз мир имеет пропорции, он звучит. По легенде люди настолько привыкли к звучанию мира, что не слышали его, а мир услышать мог только сам Пифагор. Сегодня идея «гармонии сфер» воспринимается как красивая метафора, а в то время она имела вполне конкретный смысл: планеты издают звуки при движении, и эти звуки соотносятся друг с другом, как музыкальные созвучия. Этот самый Пифагор задумывался, почему какие-то созвучия нам слышать приятно, а какие-то звучат резко и негармонично. Для своих экспериментов Пифагор изобрёл инструмент монохорд.
У монохорда было две струны - одна с неизменным тоном, а другая меняла своё звучание по воле музыканта. Изменяя пропорциональное соотношение двух звучащих струн, Пифагор пришёл к основополагающему для всей истории музыки выводу: пропорция имеет прямое отношение к звучанию, и качество этого звучания выражено числом. Что же это за число?
Давайте разбираться! Продолжением открытия Пифагора о пропорциональности является открытие консонанса и диссонанса. Консонанс - это созвучие, вызывающее чувство спокойствия, уюта, устойчивости. Консонанс в пропорции выражается простыми соотношениями чисел: чистая октава - ½, , чистая квинта - ⅔, чистая кварта - ¾. Не зря Пифагор считал, что такие простые и небольшие числа как 1,2,3,4 скрывают в себе тайну мироздания.
Диссонанс звучит беспокойно, обрывисто, резко, создаёт ощущение дискомфорта. Он выражается большим числовым соотношением, например, большая септима - 8/15, малая секунда - 15/16.
Собственно, после открытия диссонансов и консонансов вся музыка состоит из них. Композитор просто вызывает в нас определенные эмоции путём пропорций!
Кстати, если сыграть ноту «до» и исследовать ее спектрограмму, мы обнаружим, что в ней есть не только частоты ноты «до», но и других нот! Это происходит потому, что, например, струна гитары колеблется не только целиком, но и частями. Все эти колебания могут вызывать колебания струн соседних нот. Интересно, как бы звучала мелодия, если играть ее на абсолютно чистых нотах?
Ещё одно проявление математики в музыке - интервал. Колебания струны целиком задают основной тон, а колебания частями - обертона, или гармоники - дополнительный, более высокий тон. Их частоты в 2, 3, 4 и так далее раз больше частоты основного тона. Отношения соседних обертонов, или гармоник, относятся как ½, ⅔, ¾ и так далее. Чем не волшебно? Такие отношения называют интервалами. Отношение ½ - октава, ⅔ - квинта, ¾ - кварта, ⅘ - терция, и так далее.
«Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая.» Готфрид Лейбниц
С развитием музыки развивалась и ее теория. Появилась идея о том, что звуки складываются в интервалы согласно пропорциональным соотношениям, и необходимо было создать систему - язык музыки, ноты. Так появилась идея звукоряда (постепенно убывающей/прибывающей последовательности звуков, как будто стоящих на лестнице) и музыкального строя (системы, определяющей последовательность ступеней - звуков). Путём откладывания интервалов появился натуральный строй и все 7 известных нам нот.
Люди решили сужать или расширять «классические» интервалы, выведенные еще Пифагором. Это явление получило название темперации.
Так в 18 веке появилась первая нотная система, которой мы пользуемся и по сей день. Путём математических расчетов октава была поделена на 12 полутонов. Так с 18 века появилась возможность сочинять произведения в разных тональностях.
Как видите, музыка - это и есть математика, а пропорции могут звучать! На самом деле школьный учебник по алгебре и ваша любимая песня имеют больше общего, чем вы, возможно, предполагали.
Может быть интересно:
